DISTRIBUSI BINOMIAL

MAKALAH BIOSTATISTIK DESKRIPTIF

DISTRIBUSI BINOMIAL

DOSEN: NIA MUSNIATI, SKM., MKM

DISUSUN OLEH:

OLETHA MAYDYANI (1905015074)

KELAS 1B

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

FAKULTAS ILMU-ILMU KESEHATAN

KESEHATAN MASYARAKAT

2019/2020

DISTRIBUSI BINOMIAL

A. Pengertian

Distribusi Binomial ditemukan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli.Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli.

Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat: Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka  probabilitas gagal q = 1 – p.

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang dihasilkan dari eksperimen Bernouli, mengacu kepada matematikawan JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kaliadalah contoh dari proses bernouli, dan hasil keluaran dari tiap-tap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadiansukses atau gagal calon pegawai dalam psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial.

Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika memenuhi empat persyaratan:

1.      Terdapat n kali percobaan.

2.      Masing-masing percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan, atau hasil yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi dua kemungkinan. Hasil yang diperoleh tersebut dapat dianggap sebagai hasil yang sukses atau gagal.

3.      Hasil dari masing-masing percobaan haruslah saling bebas.

4.      Peluang untuk sukses harus sama untuk setiap percobaan.

Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal :

1.      Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan;

2.      Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal.

Rumus Distribusi Binomial

dimana x = 0,1,2,3,…,n
n : banyaknya ulangan
x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

B. Distribusi Binomial Negatif

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial)                                               

Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu.

Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

C.      Ciri-ciri Distribusi Binomial

1.      Ciri pertama distribusi binomial adalah bila jumlah n tetap dan p kecil maka distribusi yang dihasilkan akan miring ke kanan dan bila p makin besar maka kemiringan akan berkurang dan bila p mencapai 0,5 maka distribusi akan menjadi simetris. Bila p lebih besar dari 0,5, maka distribusi yang dihasilkan akan miring ke kiri.

2.      Ciri kedua nya adalah bila p tetap dengan jumlah n yang makin besar maka akan dihasilkan distribusi yang mendekati distribusi simetris.

3.      Percobaan diulang sebanyak n kali.

4.      Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :

1.      “BERHASIL” atau “GAGAL”;

2.      “YA” atau “TIDAK”;

3.      “SUCCESS” or “FAILED”.

5.      Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.

6.      Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.

7.      Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)

8.      Nilai n < 20 dan p > 0.05

D. Contoh Soal

Untuk mengetahui bagaimana ilustrasi dari rumus peluang binomial tersebut bermula, perhatikan Contoh berikut.

Melempar Koin

Suatu koin dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang mendapatkan tepat dua angka.

Pembahasan Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan melihat ruang sampelnya. Ruang sampel dari pelemparan satu koin sebanyak tiga kali adalah

S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}

Dari ruang sampel, kita dapat melihat bahwa ada tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka, yaitu AAG, AGA, dan GAA. Sehingga peluang kita mendapatkan tepat dua angka adalah 3/8 atau 0,375.

Dengan melihat kembali Contoh 1 dari sudut pandang percobaan binomial, maka contoh tersebut memenuhi keempat kriteria percobaan binomial.

1.      Terdapat tiga kali percobaan.

2.      Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu angka (A) atau gambar (G).

3.      Hasil dari masing-masing percobaan saling bebas (hasil dari suatu pelemparan tidak mempengaruhi hasil pelemparan lainnya).

4.      Peluang percobaan sukses (angka) adalah ½ di setiap percobaannya.

Dalam kasus ini, n = 3, X = 2, p = ½, dan q = ½. Sehingga dengan mensubstitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita mendapatkan

Jawaban tersebut sama dengan jawaban kita sebelumnya yang menggunakan ruang sampel.

Contoh tersebut juga dapat digunakan untuk menjelaskan rumus peluang binomial. Pertama, perhatikan bahwa terdapat tiga cara untuk mendapatkan tepat dua angka dan satu gambar dari delapan kemungkinan. Ketiga cara tersebut adalah AAG, AGA, dan GAA. Sehingga, dalam kasus ini banyaknya cara kita mendapatkan dua angka dari pelemparan koin sebanyak tiga kali adalah ₃C₂, atau 3. Secara umum, banyak cara untuk mendapatkan X sukses dari n percobaan tanpa memperhitungkan urutannya adalah

Ini merupakan bagian pertama rumus binomial. (Beberapa kalkulator dapat digunakan untuk menghitung kombinasi tersebut).

Selanjutnya, masing-masing sukses memiliki peluang ½ dan muncul sebanyak dua kali. Demikian juga masing-masing gagal memiliki peluang ½ dan muncul sekali. Sehingga akan memberikan,

pada rumus binomial. Sehingga apabila masing-masing percobaan sukses sukses memiliki peluang p dan muncul X kali serta peluang gagalnya adalah q dan muncul n – X kali, maka dengan menuliskan peluang percobaan sukses kita akan mendapatkan rumus binomial.

DAFTAR PUSTAKA

1.      https://yos3prens.wordpress.com/2015/02/01/distribusi-binomial/

2.      https://www.rumusstatistik.com/2012/07/rumus-distribusi-binomial.html

3.      http://kumpulanmakalah94.blogspot.com/2015/07/distribusi-binomial.html

DISTRIBUSI POISSON

MAKALAH BIOSTATISTIK DESKRIPTIF

DISTRIBUSI POISSON

  

  

DOSEN: NIA MUSNIATI, SKM., MKM

DISUSUN OLEH:

OLETHA MAYDYANI (1905015074)

KELAS 1B

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

FAKULTAS ILMU-ILMU KESEHATAN

KESEHATAN MASYARAKAT

2019/2020

DISTRIBUSI POISSON

Mengenai berapa banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu akan dipelajari pada Modul Distribusi Poisson. Ada banyak persoalan-persoalan yang bisa diselesaikan dengan metode Distribusi Poisson.

A. Pengertian

Dalam teori probablitas dan statitiska, distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Sesuai dengan namanya, distribusi peluang ini ditemukah oleh Simeon Denis Poisson.

Distribusi poisson merupakan kasus khusus dari distribusi binomial, dimana distribusi binomial akan menjadi distribusi poisson ketika n mendekati tak hingga (∞) dan p mendekati nol (0).

Distribusi poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang, variabel acak diskrit dikatan mempunyai distribusi poisson jika fungsi peluangnya  berbentuk :

Keterangan:

λ = rata-rata terjadinya suatu peristiwa.

e = bilangan alam = 2,71828.

B. Ciri ciri distribusi poisson

·         Variabel yang digunakan adalah variabel diskret

·          Percobaan bersifat acak

·          Percobaan bersifat independen

·          Biasanya digunakan pada percobaan binomial dimana n>50 dan p<0,1

C. Sebaran Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak x, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu, sering disebut percobaan Poisson. Selang waktu tersebut dapat berapa saja panjangnya, misalnya satu menit, satu hari, satu minggu, satu bulan atau bahkan satu tahun (Wallpole,1995).

D. Sifat Distribusi Poisson

1.      Banyaknya hasil yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh    oleh(bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah  ingatan

2.       Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau banyaknya alam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut.

3.      Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Banyaknya hasil x dalam suatu percobaan poisson disebut suatu perubahan acak poisson dan distribusi peluangnya disebut disebut distribusi poisson. 

Rataan banyaknya hasil dihitung dari μ= λt , bila t menyatakan ‘waktu’ atau ‘daerah’ khas yang menjadi perhatian. Karena peluangnya tergantung pada λ , laju terjadinya hasil akan kita nyatakan dengan lambang p(x;λt).

Penuruan rumus p(x;λt) berdasarkan ketiga sifat proses poisson diatas.

Jumlah keluaran yang terjadi didalam satu selang waktu/daerah yang ditentukan tidak tergantung dari jumlah yang terjadi didalam setiap selang waktu/daerah ruang yang tak berhubungan lainnya. 

Dapat disimpulkan bahwa proses Poisson tidak memiliki memori , probabilitas (v) bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi didalam suatu selang waktu yang singkat atau jatuh pada suatu daerah yang kecil semacam itu dapat diabaikan.

Suatu distribusi mengikuti pola distribusi poisson jika mengikuti aturan ini :

1.       Tidak terdapat dua kejadian yang terjadi secara bersamaan.

2.       Proses kedatangan bersifat acak.

3.       Rata rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah diketahui dari pengamatan sebelumnya.

4.       Bila interval waktu dibagi kedalam yang lebih kecil maka pernyataan pernyataan berikut harus dipenuhi :

·          Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan konstan

·          Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama waktu tersebut angkanya sangatlah kecil sehingga mendekati nol

·         Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak tergantung pada kedatangan di interval sebelum dan sesudahnya.

E. Jenis-jenis distribusi poisson

Ada beberapa jenis dari distrbusi poisson. Distribusi poisson terdiri dari Probabilitas Poisson, Probabilitas Distribusi Poisson Kumulatif, dan Distribusi  Poisson sebagai Pendekatan Distribusi Binomial. Setiap jenis dari distribusi poisson memilki karakter masing-masing berikut dengan metode dan fungsi yang berbeda.

F. Contoh Distribusi Poisson Dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh penerapan distribusi poisson dalam kehidupan sehari hari adalah :

1.      Kedatangan Bus 

2.      Kedatangan Pasien di rumah sakit

3.      Jumlah panggilan yang masuk

4.      Jumlah kecelakaan 

5.      Antrian

Proses antrian merupakan contoh nyata dari proses poisson dan distribusi poisson yang banyak terjadi pada berbagai fasilitas pelayanan umum, prosesn antrian merupakan suatu proses yang menyatakan kedatangan, menunggu dalam baris antrian, contohnya seperti antrian pada nasabah bank yang ingin mengambil uang atau mengirim uang. 

G. Contoh Soal

DAFTAR PUSTAKA

1.      https://www.rumusstatistik.com/2012/07/rumus-distribusi-poisson.html

2.      https://mathcyber1997.com/distribusi-poisson-materi-soal-dan-pembahasan/

3.      https://share28s.blogspot.com/2019/07/pengertian-asumsi-rumus-soal-poison.html

4.      http://thisisfirman.blogspot.com/2012/03/distribusi-poisson.html

5.      http://mtkmudahbanar.blogspot.com/2016/08/menurutwalpole-1995-distribusi-poisson.html